如何计算等腰三角形的面积

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目录方法1：通过边长计算面积1、复习平行四边形的面积计算。2、比较三角形和平行四边形。3、找到等腰三角形的底边。4、在底边和对角顶点之间画一条线段。5、看看等腰三角形的半边。6、使用勾股定理7、求出"h"。8、将三角形的值代入进去，求出"h"。9、在面积公式中代入底和高。10、试着解答难度更高的例题。方法2：使用三角学1、从一条边和一个角开始。2、将等腰三角形分成两个直角三角形。3、使用三角学，算出"h"的值。4、算出剩下那条边的长度。5、将x与等腰三角形的底边关联起来。6、将你算出的"h"值和"b"值代入到基础的面积公式。7、将这种计算方法变成通用公式。等腰三角形是有两条边边长相等的三角形。这两条等边与底边所成的角度相等，而且交点位于底边中点的正上方。你可以用直尺和两支长度一样的铅笔来做试验。如果你试着把三角形向任意方向倾斜，铅笔笔尖就无法相交。等腰三角形这些特别的属性让你只需要几条信息，就能计算出其面积。

方法1：通过边长计算面积

1、复习平行四边形的面积计算。任何有两组平行边的四边形都是平行四边形，包括正方形和矩形。所有平行四边形都有一个简单的面积公式：面积等于底乘以高，即A = bh。如果将平行四边形平放在水平面上，则底边是接触水平面的那条边。顾名思义，高则是离地面的高度，即底边到对边的距离。测量时，高应该与底边成90度直角。对于正方形和矩形，高就等于垂直边的长度，因为这些边与地面成直角。

2、比较三角形和平行四边形。这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半，我们就得到了两个相同的三角形。反之，如果有两个相同的三角形，你可以将它们组合到一起，得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ?bh，即对应的平行四边形面积的一半。

3、找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了，但在等腰三角形中，到底什么是"底"，什么是"高"呢？底比较好理解，直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。例如，如果等腰三角形的边长分别为5cm、5cm和6cm，则6cm那条边就是底边。

如果三角形的三条边边长都相等，即该三角形是等边三角形，那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形，但你可以用相同的方法来计算面积。

4、在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高，我们以"h"指代。算出"h"的值后，你就能求出面积。在等腰三角形中，这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。

5、看看等腰三角形的半边。注意，是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个，确定三条边：一条直角边的边长等于底边的一半： ${displaystyle {frac {b}{2}}}$ 。

另一条直角边是高"h"。

直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为"s"。

6、使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度，你就能用勾股定理算出第三条边的长度：(边1) + (边2) = (斜边)，将我们在此问题中使用的变量代入进去，得到 ${displaystyle ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}$ .你可能已经学过勾股定理，公式是 ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 。用"边"和"斜边"来代替a、b、c，可以避免与之前的三角形变量相混淆。

7、求出"h"。记住，面积公式用要用到"b"和"h"，但你还不知道"h"值。将公式变形，求出"h"： ${displaystyle ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}$
${displaystyle h^{2}=s^{2}-({frac {b}{2}})^{2}}$
${displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}$ 。

8、将三角形的值代入进去，求出"h"。知道这个公式后，你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入"b"，将腰的长度代入"s"，然后就能算出"h"的值。例如，等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm，则"b"= 6，而"s"= 5。

将这些值代入公式：
${displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}5^{2}-({frac {6}{2}})^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}25-3^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}25-9)}$
${displaystyle h={sqrt {(}}16)}$
${displaystyle h=4}$ cm。

9、在面积公式中代入底和高。知道这些值后，你就可以使用本节开头的公式了，即面积 = ?bh。将你已知的b和h值代入到本公式中，计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。这里仍然使用以上示例，边长为5-5-6的三角形底长为6 cm，高为4 cm。

A = ?bh
A = ?(6cm)(4cm)
A = 12cm。

10、试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根，无法被简化为整数。如果出现这种情况，可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例：求边长分别为8cm、8cm和4cm的三角形的面积。

将边长为4cm，与其他边的边长不相等的那条边当做"b"。

高 ${displaystyle h={sqrt {8^{2}-({frac {4}{2}})^{2}}}}$
${displaystyle={sqrt {64-4}}}$
${displaystyle={sqrt {60}}}$

分解因数来简化平方根： ${displaystyle h={sqrt {60}}={sqrt {4*15}}={sqrt {4}}{sqrt {15}}=2{sqrt {15}}}$ 。

面积 ${displaystyle={frac {1}{2}}bh}$
${displaystyle={frac {1}{2}}(4)(2{sqrt {15}})}$
${displaystyle=4{sqrt {15}}}$

答案写成这个样子就可以了，你也可以在计算器中输入这个值，求出一个近似的小数，即约15.49平方厘米。

方法2：使用三角学

1、从一条边和一个角开始。如果学过三角学，那么即使不知道等腰三角形某一条边的长度，你也可以算出它的面积。这里有一道例题，你只知道以下条件：腰的长度"s"为10cm。

两条腰所成的夹角θ等于120度。

2、将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点，向底边画一条垂直于底边的线段。这样，你就得到了两个相同的直角三角形。这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于?θ，而在本例中，(?)(120) = 60度。

3、使用三角学，算出"h"的值。由于得到的是直角三角形，所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中，你知道斜边，想算出与已知角的邻边"h"的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边，我们可以利用已知角求出"h"：cos(θ/2) = h / s

cos(60?) = h / 10

h = 10cos(60?)

4、算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中，还有一条边的长度是我们未知的，你可以将它设为"x"。因为正弦 = 对边/斜边，所以：sin(θ/2) = x / s

sin(60?) = x / 10

x = 10sin(60?)

5、将x与等腰三角形的底边关联起来。现在你可以将关注的对象"扩大到"整个等腰三角形。由于底边"b"被分为两段，每段长度均为"x"，所以"b"等于2倍的"x"。

6、将你算出的"h"值和"b"值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后，你可以使用标准公式A = ?bh： ${displaystyle A={frac {1}{2}}bh}$
${displaystyle={frac {1}{2}}(2x)(10cos60)}$
${displaystyle=(10sin60)(10cos60)}$
${displaystyle=100sin(60)cos(60)}$